JavaScript 裡的概數運算，IEEE 754 的標準其實沒有被實作？

6 min readJun 8, 2020

前言

我們常聽到的概數法不外乎「無條件進位」、「無條件捨去」以及最常被使用的「四捨五入法」，在 JavaScript 中，他們分別是 Math.ceil()、Math.floor() 和 Math.round()，實際使用時他們只能取到最接近的整數，若情境是「取概數到小數點底下第 N 位」，則需要再多做處理。

而在其他文章中還有提到 Number.toFixed() 函式，雖然常被拿來處理小數，而且參數也可以代入小數點位數，看似能夠直接解決問題，但他並不能被歸類在概數函式，原因有二：
1. 它回傳的是字串而不是數字，此函式目的是將數字格式化成字串
2. 因受到浮點數誤差影響，其結果無法歸納為常見的概數法，不可拿來做概數運算（以下說明）

但是，看似沒什麼問題的概數世界其實暗藏玄機，Math.round() 並不符合 IEEE 754 的標準，舉例來說， 2.5 在 IEEE 754 取至整數會是 2，而 Math.round() 的結果卻是 3，後者較符合我們常見的四捨五入算法，這兩者之間有什麼區別呢？

跑過一次 Number.toFixed() 演算法

我們先來看 Spec 中， Number.toFixed() 函式的演算法步驟：

參數處理

前半部的步驟中，大多是處理資料型態，這裡我們看到：

f 其實是有一個範圍的（0–100）
x 超過 10²¹ 就會直接被 `ToString` 成科學記號並回傳（參考 NumberToString）
演算法最後會回傳 s 與 m 的字串相接，s 是指正負符號，而 m 是數字部分，因此這裡判斷數字的正負並指定 s
f 沒指定就是 0，取到整數

概數與字串處理

第九點是演算法的大重點，關於如何選擇概數、字串填補，以及決定小數點位置，我們以 (30.15).toFixed(1) 作為例子，一步一步來跑過這部分的演算法。（x = 30.15, f = 1)

Step 9.a

在選擇向上還是向下取整的決定上，JavaScript Spec 指定了「選比較大的那個數」
n 必須是最近似 301.5 的整數，因此會是 302 或是 300，依照 Spec 的標準會是 302。

Step 9.b

這裡初始化 m， m 是回傳字串的數字部分。
如果 n 是 0，代表取的位數比數字本身還大（像是 (0.005).toFixed(1)），因此 m 字串會被指定為 0，其他狀況就是 n 直接變為字串。

Step 9.c

初始化一個資料 k ，它是 m 的長度。
如果我們要取的位數 f 比 k 還大，則我們要補 0 在 m 的最後面，例如 (10.5).toFixed(4) 會得到 10.5000。

Step 9.d

決定小數點在 m 字串的位置，它會在第 k-f 位的後方，在我們的例子中， k-f = 2 ，因此會得到 30.2 ，這結果也符合我們四捨五入的運算。

Step 10

回傳 s 與 m 的字串相接，大功告成，結果就是 30.2。

事與願違

Errr⋯⋯沒錯，在處理浮點數的問題時，事情總是沒有想像中的單純，由於浮點數精確度的關係，這個 Number.toFixed() 的結果有時會壞掉，甚至難以預期。

所以前面說過，不要用 Number.toFixed() 來處理概數，顯示格式化字串的功能是沒問題，但不要期待他會給出邏輯一致的結果，他的好兄弟 Number.toPrecision() 也是一樣的毛病，接下來我們來看看 IEEE 754 定義的概數法（correct rounding）。

IEEE 754 裡的概數

JavaScript 裡的 Number 型態幾乎完整實作了 IEEE 754，包括 NaN、INF 等，都與 IEEE 定義如出一轍，而 IEEE 754 定義的概數方法有五種，其中三種「直接概數法 (Direct rounding) 」不在此次範圍，尚不討論，我們專注於兩種「最接近值法(Nearest value rounding)」，這兩種方法討論的都是在取概數時，若遇到 5 時該向上或是向下取整。

取至最遠離零的數

以零作為原點，取概數時選擇較遠離原點的數
例如：2.5 會取整為 3，-2.5 會取整為 -3。
優點：提升執行效率，實作者只需要在第一個 bit 判斷數字的符號（代表數字的正負）後，就可決定在遇到 5 時該向上還是向下取整。

接近偶數法

此為 IEEE 754 的預設方法
又稱為「銀行概數法」（Banker’s rounding），取概數時會選擇最接近的偶數。
例如： 2.5 會取整為 2（向下）， 3.5 會取整為 4 （向上）。
它的優點是能夠消弭在取概數時產生的偏差值，假設我們今天要取一系列數的概數，若採取遇到 5 一律向上取整的方法，則整體數字的值會上升，偏離原數的平均值。

const numbers = [0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5]const roundedNumbers = round(numbers)
// 遇到 5 一律向上取整
// [1, 2, 3, 4 ,5]const evenRoundedNumbers = roundToEven(number)
// 遇到 5 取整到最接近的偶數
// [0, 2, 2, 4, 4]mean(numbers)
// 原數平均數：(0.5 + 1.5 + 2.5 + 3.5 + 4.5) / 5 = 2.5mean(roundedNumbers)
// 向上取整法的平均數：(1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3mean(evenRoundedNumbers)
// 接近偶數法的平均數：(0 + 2 + 2 + 4 + 4) / 5 = 2.4

結論

雖然在顯示數字上，概數的精確度並不是太大的問題，但還是不要對 Number.toFixed() 抱有錯誤的期待，以免在使用上出現預期外的結果。
JavaScript 裡沒有內建「最接近偶數法」的實作，網路上 math.js 這個 Library 雖然能夠指定位數，但仍然是向上取整。